输入导向 DEA 模型 所确定的效率前沿展示的是规模报酬可变情形, 模型所确定的有效前沿可称为可变规模报酬前言。我们对规模报酬和有效前沿作个简单的介绍。

考虑上图所示 5 个决策单元的单输入单输出情况。规模收益可变有效前沿由决策单元 $A, B, C$ 和 $D$ 组成。 $A B$ 代表规模报酬递增 (IRS), $B$ 代表不变规模报酬 (CRS), $B C$ 和 $C D$ 代表规模报酬递减 (DRS)。 模型 (2.2) 是基于规模报酬可变的、输入导向的数据包络模型, 决策单元 $E$ 与效率前沿上的点 $F$ ( $A$ 和 $B$ 的凸集) 相比是无效的。即 $E$ 应该减少输入到 $F$, 或者说 $F$ 是 $E$ 的效率投影点。如采用的是输出导向模型, $E$ 的效率投影点应该是 $C$ (增加其输出到 $C$ )。

输出导向数据包络分析模型可以描述为 (当决策单元 $\mathrm{DMU}_0$ 作为评价对象时) $$ \begin{aligned} &\max \phi \\ &\text { s.t. } \end{aligned} $$ $$ \begin{array}{ll} \sum_{j=1}^n \lambda_j x_{i j} \leqslant x_{i o} & i=1,2, \cdots, m \\ \sum_{j=1}^n \lambda_j y_{r j} \geqslant \phi y_{r o} & r=1,2, \cdots, s \\ \sum_{j=1}^n \lambda_j=1 & \\ \lambda_j \geqslant 0 & j=1,2, \cdots, n \end{array} $$ 输出和输入导向包络分析模型所确定的边界是一致的, 它主要是在保持输入水平不变的情况下找到系数 $\phi$ 来增加其输出。 $\phi^*$ 就是效率得分。如果 $\phi^*=1$, 那么当前输出不能成倍增加了, 即 $\mathrm{DMU}_o$ 在有效前沿上; 如果 $\phi^*>1$, 那么同水平输 入能够产生更多的输出。注意到 $\phi^*=1$ 总是可行解, 因此, 该模型的解 $\phi^* \geqslant 1$ 。 在 输出导向模型中, 效率得分越高意味者越无效。 在应用输出导向模型来评价 15 个最佳财富城市的效率之前, 首先来考虑一个 简单的例子, 如下图所示, 共有 4 个决策单元, 单输入两个输出, 并且 4 个决策 单元的输入是一样的。

图中, 决策单元 $1,2,3$ 是有效的。如果运用模型来计算决策单元 4 的效率值的话, 有 $$ \max \phi $$ s.t. $$ \begin{aligned} &\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4 \leqslant 1 \\ &6 \lambda_1+5 \lambda_2+2 \lambda_3+3 \lambda_4 \geqslant 3 \phi \\ &2 \lambda_1+3.5 \lambda_2+5 \lambda_3+3.5 \lambda_4 \geqslant 3.5 \phi \\ &\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4=1 \\ &\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4 \geqslant 0 \end{aligned} $$ 解得 $\phi^*=1.2, \lambda_2^*=8 / 15, \lambda_3^*=7 / 15$, 决策单元 4 是无效的, 效率投影点是 $G$, 即决 策单元 4 应该增加两种输出到 $G$ 。

参考资料：